a² + b² = c²: Diese Formel kennen viele noch aus der Schule. Beweise der Formel gibt es zwar viele, doch manche sind sehr knifflig. Zwei US-Teenagern ist nun etwas Besonderes gelungen. Sie haben den Satz des Pythagoras gleich mehrfach mit Mitteln der Trigonometrie bewiesen.
Der Satz des Pythagoras ist wohl eine der wenigen Formeln, die viele Menschen noch aus dem Schulunterricht irgendwo im Hinterkopf haben: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat - meist repräsentiert durch die Formel a² + b² = c².
Worum geht es beim Satz des Pythagoras?
- Es geht es um die Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks: Die Summe der Quadrate der am rechten Winkel anliegenden Katheten (meist a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c), die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt.
- Man kann also die Länge einer beliebigen Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn man die Länge der beiden anderen Seiten kennt.
Zwei Mathe-affinen Nachwuchswissenschaftlerinnen ist gelungen, was in der Fachwelt lange Zeit als nahezu unmöglich galt: Sie haben den berühmten Satz des Pythagoras mit Mitteln der Trigonometrie bewiesen - und das gleich mehrfach. Ihre Ergebnisse wurden in der Zeitschrift "American Mathematical Monthly" veröffentlicht.
Die Krux dabei: Die Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, und deren grundlegende Formeln beruhen auf der Annahme, dass der Satz des Pythagoras wahr ist. Es droht also ein Zirkelschluss - eine Beweisführung, in der das zu Beweisende schon als Voraussetzung steckt.
Ohne Zirkelschluss sei professionellen Mathematikern erst zweimal ein solcher Beweis geglückt, teilte der Verlag mit. Darüber hinaus gibt es Hunderte andere Beweise des Jahrtausende alten Lehrsatzes aus anderen Disziplinen der Mathematik wie der Algebra.
Teenagerinnen liefern neue Beweise
Die Autorinnen Calcea Johnson und Ne'Kiya Jackson haben in ihrer nun veröffentlichten Arbeit fünf Möglichkeiten vorgelegt, den Satz mithilfe der Trigonometrie zu beweisen. Hinzu kommt eine Methode, die fünf weitere Beweise ermöglicht. Dafür haben sie - grob gesagt - aus einem rechtwinkligen Dreieck ABC verschiedene neue rechtwinklige Dreiecke mit bestimmten Winkel-Maßen gebildet.
Auf die Idee gekommen waren die beiden als Schülerinnen im Jahr 2022 bei einem Mathematik-Wettbewerb an ihrer Highschool in den USA. Eine Frage lautete dabei, einen neuen Beweis für den Satz des Pythagoras zu erstellen. "500 Dollar Preisgeld motivierten uns, uns dieser Aufgabe zu stellen", schreiben sie. "Die Aufgabe erwies sich als viel schwieriger, als wir uns zunächst vorgestellt hatten, und wir verbrachten viele lange Nächte mit dem Versuch, einen Beweis zu erstellen, und scheiterten dabei."
Der Versuch, die Trigonometrie zu verstehen, sei wie der Versuch, ein Bild zu verstehen, auf dem zwei verschiedene Bilder übereinander gedruckt wurden, schreiben die beiden weiter.
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Einige Monate opferten die Teenagerinnen ihre Freizeit dem Vorhaben, arbeiteten sogar in den Ferien daran. "Es gab viele Momente, in denen wir beide das Projekt aufgeben wollten, aber wir beschlossen durchzuhalten und zu beenden, was wir begonnen hatten."
Sie präsentierten ihre Arbeit auf einer Tagung der American Mathematical Society im Jahr 2023. Zu diesem Zeitpunkt waren die beiden gerade einmal 17 Jahre alt.
Johnson und Jackson sind stolz
Am Ende gab es laut dem Verlag neben Auszeichnungen sogar ein Lob von Ex-First-Lady Michelle Obama. Und nun eine wissenschaftliche Veröffentlichung mit neuen Beweisen.
"Ich bin sehr stolz darauf, dass wir beide einen so positiven Einfluss ausüben können und zeigen können, dass junge Frauen und Schwarze Frauen so etwas erreichen können."
"Ich bin sehr stolz darauf, dass wir beide einen so positiven Einfluss ausüben können", erklärte Co-Autorin Johnson. Die beiden Autorinnen hätten gezeigt, dass junge Frauen und Schwarze Frauen dazu in der Lage seien "und damit andere junge, Schwarze Frauen wissen lassen, dass sie alles tun können, was sie tun wollen".
Johnson studiert inzwischen Umwelttechnik an der Louisiana State University, Jackson studiert Pharmazie an der Xavier University of Louisiana. (dpa/bearbeitet von sbi)
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